terça-feira, 29 de novembro de 2011

Lista de Exercícios - Área e Volume de Sólidos

1) Deseja-se cimentar um quintal retangular com 10 m de largura e 14 m de comprimento, o revestimento será feito com 3 cm de espessura. Qual o volume de cimento utilizado nesse revestimento?   

2) Para encher uma laje de formato retangular, com 4 m de largura por 6 m de comprimento foi utilizado 2,88 m de cimento. Qual a espessura do concreto dessa laje ? 

3) Um cubo possui uma área total de 54 m2. Qual o volume desse cubo?   

4) Sabe-se que um cubo tem 216 m2 de área total. Determine, em litros o seu volume?   

5) Um cilindro circular reto e um cone reto possuem a mesma altura h e o mesmo raio r da base. Uma semi-esfera é retirada do interior do cilindro e é acrescentada no topo do cone, gerando os sólidos S1 e S2 , conforme mostra a figura.

Se os volumes desses sólidos são representados, respectivamente, por Vol(S1) e Vol(S2) , é correto afirmar que:

6) A planificação da superfície lateral de um cilindro circular reto de altura h e raio r gera a região retangular ABCD, conforme é ilustrado na Figura 1. Suponha que esta região seja utilizada para construir um novo cilindro, cuja altura é a medida do segmento AB , sem haver sobreposição.
O volume do novo cilindro é?

7) O volume do prisma reto de altura h = 2 cm, cuja base é o quadrilátero de vértices A(1, 2) , B(2, 3) , C(0, 6) e D(5, 2) , é:

Respostas:


1) 
4,2 m³


2)
12 cm


3)
27 m³


4)
216000 litros


5)
Vol(S1) = Vol(S2) se e somente se h=2r.


6)
rh²/2


7)
57cm³






Referências:


Lista de Exercícios - Perímetro e Área de Figuras Planas

1) Determine a área das seguintes figuras (em cm):
a)exercicio_geometria.GIF (2258 bytes)b)   exercicio_geometria1.GIF (2219 bytes)






c) exercicio_geometria2.GIF (1930 bytes)





d) exercicio_geometria4.GIF (1801 bytes)
e) exercicio_geometria6.GIF (3031 bytes)
               


2) Temos um triângulo equilátero de lado 6cm. Qual é o perímetro e qual é a área deste triângulo?

3) Um trapézio tem a base menor igual a 2, a base maior igual a 3 e a altura igual a 10. Qual a área deste trapézio?

4) Sabendo que a área de um quadrado é 36cm², qual é seu perímetro?

5) Calcule a área e o perímetro (em metros) dos retângulos descritos:
a) a = 25 e b = 12
b) a = 14 e b = 10

6) A área da figura abaixo é?

7) Em um retângulo de perímetro igual a  60, a basa é duas vezes a altura. Então a área desse retângulo é?

8) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10 cm e o perímetro mede 22 cm. A área do triângulo é de?



Respostas:

1)
Resposta a:
Retângulo amarelo:
2*3 = 6
Retângulo verde:
2*6 = 12
Retângulo azul:
10*3 = 30
A soma de todos eles:
6 + 12 + 30 = 48cm²

Resposta b:
Área do triângulo:
(3*3)/2 = 4,5
Retângulo laranja:
4* (3+3) = 24
Retângulo rosa:
2*5 = 10
A soma de todas figuras:
4,5 + 24 + 10 = 38,5cm²

Resposta c:
Área do trapézio:
(15 + 10) * 6/2
25*6/2 =
150/2 = 75
Área do retângulo:
8*2 = 16
75 + 16 = 91cm²

Resposta d:
(20*15)/2 =
300 / 2 = 150cm²

Resposta e:
Figura azul:
4 cm
Se observarmos bem, vemos que a parte de baixo da figura roxa se encaixa na parte branca de cima da figura. Logo, temos um retângulo
4*2 = 8
4 + 8 = 12cm²

2)
Perímetro:
6*3 = 18cm
Área:

exercicio_geometria7.gif (774 bytes)

3)
exercicio_geometria8.gif (868 bytes)

4)
Vamos descobrir o lado do quadrado:
x*x = 36
x =
x = 6
Então seu perímetro é 6*4 = 2
4cm.


5)
Resposta a:
Área:
25*12 = 300m²
Perímetro:
25+25+12+12 = 74m


Resposta b:

Área:
14*10 = 140m²
Perímetro:
14+14+10+10 = 48m





6)
30 cm²

7)
200


8)
11 cm²




Referências:

Área e Volume de Sólidos

Sólidos Geométricos

No contacto diário que vamos tendo com os objetos que nos envolvem, vamos nos habituando a designar alguns deles por determinados nomes, cujo significado matemático, não sendo precisamente o mesmo, tem no entanto, muito de comum.
Aos objetos que nos rodeiam e que apresentam as mais diversas formas, ocupando no espaço um certo lugar e tendo uma forma imutável desde que não seja exercida nenhuma ação particular sobre eles, chamamos sólidos.
Uns são limitados por superfícies planas (aos quais chamamos poliedros), outros por superfícies curvas e outros ainda são limitados por superfícies planas e curvas (aos quais chamamos não poliedros).
No estudo da forma dos corpos e das suas propriedades, a geometria reduz os corpos a conjuntos de pontos cujas posições relativas são invariáveis, com os quais constrói símbolos das mesmas formas, a que chama Sólidos Geométricos.
São exemplos de sólidos geométricos o Cubo, o Paralelepípedo, o Prisma, a Pirâmide, o Cilindro, o Cone, a Esfera....

Alguns dos objetos que nos rodeiam chamamos cubo, esfera, paralelepípedo, cone, etc. No entanto, cada um destes nomes não designa propriamente um desses objetos, mas sim um sólido geométrico ideal (pois não existe fisicamente), que matematicamente representa o conjunto de todos os sólidos com uma dada forma. 
Por exemplo, um dado é um objecto de forma cúbica a que podemos chamar cubo; porém, cubo, mais rigorosamente, designa um sólido geométrico ideal. Um pacote de leite é exemplo de um objecto com a forma de paralelepípedo; uma lata de ervilhas de conserva é um exemplo de um objecto com a forma de cilindro e muitos outros de uso corrente se poderiam enumerar. Estes e outros exemplos deverão ser mencionados na sala de aula para uma melhor visualização de sólidos por parte dos alunos.

Todos os objetos que nos circundam, para além de ocuparem um determinado espaço, tem também uma determinada superfície de contacto com o espaço exterior. Diremos que vários objetos têm o mesmo volume, se ocuparem o mesmo espaço, embora possam ter formas diferentes. Para que os alunos compreendam a noção de volume, pode-se apresentar-lhes o exemplo da bola de futebol que cheia ocupará um determinado espaço e terá uma certa superfície, e é claro que se a esvaziarmos, amachucando-a, a superfície manter-se-á mas o espaço ocupado pela bola diminuirá. Neste caso, a área da superfície da bola manteve-se mas o seu volume diminuiu.

Sólidos geométricos equivalentes: Dois sólidos geométricos dizem-se equivalentes se tiverem o mesmo volume.

Um princípio útil para determinar os volumes de sólidos geométricos, é o seguinte:

Princípio de Cavalieri: Se dois sólidos, assentes sobre um plano, são seccionados por todo o plano paralelo ao plano dado, segundo figuras com a mesma área, então os sólidos têm o mesmo volume.

Curiosidade, Bonaventura Cavalieri foi discípulo de Galileu e professor de Matemática na Universidade de Bolonha, durante a primeira metade do século XVII.


Este sólido geométrico chama-se  cubo
É um prisma em que todas as faces têm a     forma de quadrados.
Este sólido geométrico tem: 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.
Chamamos paralelepípedo a este prisma. 
Todas as suas faces têm a forma de retângulos.
Tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.
Este sólido geométrico é chamado prisma triangular porque as suas bases são triângulos.
Tem 6 vértices, 9 arestas, 5 faces e duas bases.
O prisma quadrangular tem nas suas bases quadrados.
Tem 8 vértices, 12 aresta, 6 faces e duas bases.
Este sólido chama-se prisma pentagonal, porque as suas bases são pentágonos.
Tem 10 vértices, 15 arestas, 7 faces e duas bases.
Este sólido geométrico denomina-se pirâmide triangular porque a sua base é um triângulo.
Tem 4 vértices, 6 arestas, 4 faces e 1 base.
Chamamos pirâmide quadrangular a este sólido pois tem um quadrado na sua base.
Tem 5 vértices, 8 arestas, 5 faces e 1 base.
A base da pirâmide pentagonal é um pentágono.
Tem 6 vértices, 10 arestas, 6 faces e 1 base.
A esfera é um sólido geométrico limitado por uma superfície curva.
A sua forma é esférica; não tem bases, não tem vértices e não tem arestas.
Este sólido geométrico chama-se cilindro.
Encontra-se limitado por uma superfície curva e tem duas bases com a forma de circunferências.
O cone está limitado por uma superfície curva.
Tem uma base na forma de circunferência e tem 1 vértice.


Áreas de Sólidos

Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície.
Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-múltiplos.

Áreas de sólidos com duas bases: 

A área lateral dos poliedros (cubo, paralelepípedo e prisma) calcula-se adicionando a área das faces laterais, ou seja, é a soma das áreas das faces laterais. Também se pode calcular a área lateral dos poliedros aplicando a fórmula que se usa para o cilindro.




Área lateral = perímetro da base . altura
A área total de qualquer dos sólidos (cubo, paralelepípedo, prisma e cilindro) é igual à soma da área lateral com a área das duas bases.

At = Al + 2Ab, onde: At - área total
Al - área lateral
Ab - área da base


Volume de Sólidos


volume de um corpo é a quantidade de espaço ocupada por esse corpo. Volume tem unidades de tamanho cúbicas (por exemplo, cm³, m³, in³, etc.)

Volume de sólidos com uma só base: 


O volume da pirâmide e do cone, sólidos com uma só base, é sempre igual ao produto de 1/3 da área da base pela altura.

V = 1/3 Ab . h, onde: Ab - área da base
h - altura


Volume de sólidos com duas bases:


O volume do cubo, do paralelepípedo, do prisma (triangular, pentagonal,...), sólidos com duas bases, é sempre igual ao produto da área da base pela altura.


V = Ab . h, onde: Ab - área da base
h - altura


Uma vez que a determinação de áreas e volumes tem um grande interesse prático, torna-se conveniente agrupá-las e relacioná-las num quadro-resumo:                       

                        

Área TotalVolume
Prisma/Cilindro      A= Al + 2AbV = Ab . h
Pirâmide/Cone At = Al + AbV = (Ab . h) ž 3
Esfera4p r2(4p r3ž 3






Referências:
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm21/solidos_geometricos.htm
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm204/solidos_geometricos.htm


Perímetro e Área de Figuras Planas

Figuras Planas

O estudo da área de figuras planas está ligado aos conceitos relacionados à Geometria Euclidiana, que surgiu na Grécia antiga embasada no estudo do ponto, da reta e do plano. No mundo em que vivemos, existem inúmeras formas planas existentes, que são construídas a partir dos elementos básicos citados anteriormente. Desde a antiguidade, o homem necessitou determinar a medida da superfície de áreas, com o objetivo voltado para a plantação e a construção de moradias. Dessa forma, ele observou uma melhor organização na ocupação do terreno.
Atualmente, o processo de expansão ocupacional utiliza os mesmos princípios criados nos séculos anteriores. A diferença é que hoje as medidas são padronizadas de acordo com o Sistema Internacional de Medidas. Dentre as medidas de área existentes temos:

km²: quilômetro quadrado
hm²: hectômetro quadrado
dam²: decâmetro quadrado
m²: metro quadrado
dm²: decímetro quadrado
cm²: centímetro quadrado
mm²: milímetro quadrado


Na Geometria, as formas mais conhecidas são: triângulo, quadrado, retângulo, paralelogramo, losango, trapézio e círculo. Todas essas formas possuem fórmulas matemáticas para o cálculo da medida de suas superfícies. Para o cálculo de área envolvendo as figuras mais complexas desenvolvemos cálculos matemáticos específicos entre outras técnicas.
Nesta seção iremos abordar o cálculo da superfície das principais formas planas existentes, relacionando a figura com sua fórmula matemática.


  Perímetro

Perímetro de uma figura plana fechada é o comprimento da linha que limita a figura, comprimento do contorno.
 
Veja o exemplo:

O perímetro da figura é a soma de todos os seus lados:

P = 10 + 8 + 3 + 1 + 2 + 7 + 2 +3
P = 18 + 4 + 9 + 5
P = 22 + 14
P = 36

A unidade de medida utilizada no cálculo do perímetro é a mesma unidade de medida de comprimento: metro, centímetro, quilômetro... 

O perímetro da figura abaixo é o contorno dela, como não temos a medida de seus lados, para medir o seu perímetro devemos contorná-la com um barbante e depois esticá-lo e calcular a medida.





Área

Área de uma figura plana fechada é a extensão que essa figura ocupa.

Cálculo da Área do Triângulo

Denominamos de triângulo a um polígono de três lados.
Observe a figura ao lado. A letra h representa a medida da altura do triângulo, assim como letra b representa a medida da sua base.
A área do triângulo será metade do produto do valor da medida da base, pelo valor da medida da altura, tal como na fórmula abaixo:



A letra S representa a área ou superfície do triângulo.
No caso do triângulo equilátero, que possui os três ângulos internos iguais, assim como os seus três lados, podemos utilizar a seguinte fórmula:



Onde l representa a medida dos lados do triângulo.

Cálculo da Área do Paralelogramo



Um quadrilátero cujos lados opostos são iguais e paralelos é denominado paralelogramo.
Com h representando a medida da sua altura e com b representando a medida da sua base, a área do paralelogramo pode ser obtida multiplicando-se b por h, tal como na fórmula abaixo:





Cálculo da Área do Losango


O losango é um tipo particular de paralelogramo. Neste caso além dos lados opostos serem paralelos, todos os quatro lados são iguais.
Se você dispuser do valor das medidas h e b, você poderá utilizar a fórmula do paralelogramo para obter a área do losango.
Outra característica do losango é que as suas diagonais são perpendiculares.
Observe na figura à direita, que a partir das diagonais podemos dividir o losango em quatro triângulos iguais.
Consideremos a base b como a metade da diagonal d1 e a altura h como a metade da diagonal d2, para calcularmos a área de um destes quatro triângulos. Bastará então que a multipliquemos por 4, para obtermos a área do losango. Vejamos:

Realizando as devidas simplificações chegaremos à fórmula:

Cálculo da Área do Quadrado

Todo quadrado é também um losango, mas nem todo losango vem a ser um quadrado, do mesmo modo que todo quadrado é um retângulo, mas nem todo retângulo é um quadrado.
O quadrado é um losango, que além de possuir quatro lados iguais, com diagonais perpendiculares, ainda possui todos os seus ângulos internos iguais a 90°. Observe ainda que além de perpendiculares, as diagonais também são iguais.
Por ser o quadrado um losango e por ser o losango um paralelogramo, podemos utilizar para o cálculo da área do quadrado, as mesmas fórmulas utilizadas para o cálculo da área tanto do losango, quanto do paralelogramo.



Quando dispomos da medida do lado do quadrado, podemos utilizar a fórmula do paralelogramo:


Como h e b possuem a mesma medida, podemos substituí-las por l, ficando a fórmula então como sendo:



Quando dispomos da medida das diagonais do quadrado, podemos utilizar a fórmula do losango:
Como ambas as diagonais são idênticas, podemos substituí-las por d, simplificando a fórmula para:




Cálculo da Área do Retângulo



Por definição o retângulo é um quadrilátero equiângulo (todo os seus ângulos internos são iguais), cujos lados opostos são iguais.

Se todos os seus quatro lados forem iguais, teremos um tipo especial de retângulo, chamado de quadrado.

Por ser o retângulo um paralelogramo, o cálculo da sua área é realizado da mesma forma.
Se denominarmos as medidas dos lados de um retângulo como na figura ao lado, teremos a seguinte fórmula:

Cálculo da Área do Círculo

A divisão do perímetro de uma circunferência, pelo seu diâmetro resultará sempre no mesmo valor, qualquer que seja circunferência. Este valor irracional constante é representado pela letra grega minúscula pi, grafada como:



Por ser um número irracional, o número pi possui infinitas casas decimais. Para cálculos corriqueiros, podemos utilizar o valor 3,14159265. Para cálculos com menos precisão, podemos utilizar 3,1416, ou até mesmo 3,14.
O perímetro de uma circunferência é obtido através da fórmula:



O cálculo da área do círculo é realizado segundo a fórmula abaixo:
Onde r representa o raio do círculo.


Cálculo da Área de Setores Circulares


O cálculo da área de um setor circular pode ser realizado calculando-se a área total do círculo e depois se montando uma regra de três, onde a área total do círculo estará para 360°, assim como a área do setor estará para o número de graus do setor.

Sendo S a área total do círculo, Sα a área do setor circular e α o seu número de graus, temos:


Em radianos temos:
A partir destas sentenças podemos chegar a esta fórmula em graus:

E a esta outra em radianos:


Onde r representa o raio do círculo referente ao setor e α é o ângulo também referente ao setor.


Cálculo da Área de Coroas Circulares


O cálculo da área de uma coroa circular pode ser realizado calculando-se a área total do círculo e subtraindo-se desta, a área do círculo inscrito. Podemos também utilizar a seguinte fórmula:


Onde R representa o raio do círculo e r representa o raio do círculo inscrito.




Referências:
http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/area-perimetro.htm
http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/areas-figuras-planas.htm
http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx