terça-feira, 29 de novembro de 2011

Área e Volume de Sólidos

Sólidos Geométricos

No contacto diário que vamos tendo com os objetos que nos envolvem, vamos nos habituando a designar alguns deles por determinados nomes, cujo significado matemático, não sendo precisamente o mesmo, tem no entanto, muito de comum.
Aos objetos que nos rodeiam e que apresentam as mais diversas formas, ocupando no espaço um certo lugar e tendo uma forma imutável desde que não seja exercida nenhuma ação particular sobre eles, chamamos sólidos.
Uns são limitados por superfícies planas (aos quais chamamos poliedros), outros por superfícies curvas e outros ainda são limitados por superfícies planas e curvas (aos quais chamamos não poliedros).
No estudo da forma dos corpos e das suas propriedades, a geometria reduz os corpos a conjuntos de pontos cujas posições relativas são invariáveis, com os quais constrói símbolos das mesmas formas, a que chama Sólidos Geométricos.
São exemplos de sólidos geométricos o Cubo, o Paralelepípedo, o Prisma, a Pirâmide, o Cilindro, o Cone, a Esfera....

Alguns dos objetos que nos rodeiam chamamos cubo, esfera, paralelepípedo, cone, etc. No entanto, cada um destes nomes não designa propriamente um desses objetos, mas sim um sólido geométrico ideal (pois não existe fisicamente), que matematicamente representa o conjunto de todos os sólidos com uma dada forma. 
Por exemplo, um dado é um objecto de forma cúbica a que podemos chamar cubo; porém, cubo, mais rigorosamente, designa um sólido geométrico ideal. Um pacote de leite é exemplo de um objecto com a forma de paralelepípedo; uma lata de ervilhas de conserva é um exemplo de um objecto com a forma de cilindro e muitos outros de uso corrente se poderiam enumerar. Estes e outros exemplos deverão ser mencionados na sala de aula para uma melhor visualização de sólidos por parte dos alunos.

Todos os objetos que nos circundam, para além de ocuparem um determinado espaço, tem também uma determinada superfície de contacto com o espaço exterior. Diremos que vários objetos têm o mesmo volume, se ocuparem o mesmo espaço, embora possam ter formas diferentes. Para que os alunos compreendam a noção de volume, pode-se apresentar-lhes o exemplo da bola de futebol que cheia ocupará um determinado espaço e terá uma certa superfície, e é claro que se a esvaziarmos, amachucando-a, a superfície manter-se-á mas o espaço ocupado pela bola diminuirá. Neste caso, a área da superfície da bola manteve-se mas o seu volume diminuiu.

Sólidos geométricos equivalentes: Dois sólidos geométricos dizem-se equivalentes se tiverem o mesmo volume.

Um princípio útil para determinar os volumes de sólidos geométricos, é o seguinte:

Princípio de Cavalieri: Se dois sólidos, assentes sobre um plano, são seccionados por todo o plano paralelo ao plano dado, segundo figuras com a mesma área, então os sólidos têm o mesmo volume.

Curiosidade, Bonaventura Cavalieri foi discípulo de Galileu e professor de Matemática na Universidade de Bolonha, durante a primeira metade do século XVII.


Este sólido geométrico chama-se  cubo
É um prisma em que todas as faces têm a     forma de quadrados.
Este sólido geométrico tem: 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.
Chamamos paralelepípedo a este prisma. 
Todas as suas faces têm a forma de retângulos.
Tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.
Este sólido geométrico é chamado prisma triangular porque as suas bases são triângulos.
Tem 6 vértices, 9 arestas, 5 faces e duas bases.
O prisma quadrangular tem nas suas bases quadrados.
Tem 8 vértices, 12 aresta, 6 faces e duas bases.
Este sólido chama-se prisma pentagonal, porque as suas bases são pentágonos.
Tem 10 vértices, 15 arestas, 7 faces e duas bases.
Este sólido geométrico denomina-se pirâmide triangular porque a sua base é um triângulo.
Tem 4 vértices, 6 arestas, 4 faces e 1 base.
Chamamos pirâmide quadrangular a este sólido pois tem um quadrado na sua base.
Tem 5 vértices, 8 arestas, 5 faces e 1 base.
A base da pirâmide pentagonal é um pentágono.
Tem 6 vértices, 10 arestas, 6 faces e 1 base.
A esfera é um sólido geométrico limitado por uma superfície curva.
A sua forma é esférica; não tem bases, não tem vértices e não tem arestas.
Este sólido geométrico chama-se cilindro.
Encontra-se limitado por uma superfície curva e tem duas bases com a forma de circunferências.
O cone está limitado por uma superfície curva.
Tem uma base na forma de circunferência e tem 1 vértice.


Áreas de Sólidos

Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície.
Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-múltiplos.

Áreas de sólidos com duas bases: 

A área lateral dos poliedros (cubo, paralelepípedo e prisma) calcula-se adicionando a área das faces laterais, ou seja, é a soma das áreas das faces laterais. Também se pode calcular a área lateral dos poliedros aplicando a fórmula que se usa para o cilindro.




Área lateral = perímetro da base . altura
A área total de qualquer dos sólidos (cubo, paralelepípedo, prisma e cilindro) é igual à soma da área lateral com a área das duas bases.

At = Al + 2Ab, onde: At - área total
Al - área lateral
Ab - área da base


Volume de Sólidos


volume de um corpo é a quantidade de espaço ocupada por esse corpo. Volume tem unidades de tamanho cúbicas (por exemplo, cm³, m³, in³, etc.)

Volume de sólidos com uma só base: 


O volume da pirâmide e do cone, sólidos com uma só base, é sempre igual ao produto de 1/3 da área da base pela altura.

V = 1/3 Ab . h, onde: Ab - área da base
h - altura


Volume de sólidos com duas bases:


O volume do cubo, do paralelepípedo, do prisma (triangular, pentagonal,...), sólidos com duas bases, é sempre igual ao produto da área da base pela altura.


V = Ab . h, onde: Ab - área da base
h - altura


Uma vez que a determinação de áreas e volumes tem um grande interesse prático, torna-se conveniente agrupá-las e relacioná-las num quadro-resumo:                       

                        

Área TotalVolume
Prisma/Cilindro      A= Al + 2AbV = Ab . h
Pirâmide/Cone At = Al + AbV = (Ab . h) ž 3
Esfera4p r2(4p r3ž 3






Referências:
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm21/solidos_geometricos.htm
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm204/solidos_geometricos.htm


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